Diferensial Eksak

persamaan diferensial eksak​

Daftar Isi

• 1. persamaan diferensial eksak​
• 2. apa arti persamaan diferensial eksak?
• 3. mohon bantuannya tentukan solusi umum dari persamaan diferensial eksak berikut​
• 4. tunjukkan bahwa persamaan diferensial berikut adalah eksak dan selesaikan x dy+3y(^2)dx=0
• 5. Perhatikan persamaan diferensial 6x + 5y dx = - (5x + 3y) dy, dengan y(0) = 2 Selidiki apakah persamaan diferensial tersebut eksak atau tidak!. Jika ya, carilah solusinya
• 6. Buktikan apakah fungsi persamaan diferensial 2y^2+4x/dx=-(x+4y)/dy merupakan persamaan diferensial eksak? Tentukan nilai konstanta fungsi tersebut, jika diketahui y(0)=4
• 7. selesaikan persamaan diferensial orde 1 eksak 2xdy+3ydx=0
• 8. 1. Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan tentukan solusi umum penyelesaiannya!2. Diketahui persamaan diferensial eksak (4x²+6y)dx+(6x-2y²-4)dy=0. jika diketahui y(0)=6. tentukan solusi khusus penyelesaiannya!​
• 9. halo kak tolong Bantu aku dong ini sisa satu lagi soalnyatentang Persamaan diferensial eksakterima kasih kak​​
• 10. Tentukan solusi Persamaan diferensial Eksak fungsi 3x²+3y/dx = − 4x²+6xy/dy dengan y (0) = 5
• 11. Dapatkah persamaan diferensial 2(x+y)dy+2ydx=0 diselesaikan dengan cara penyelesaian PD eksak? Jelaskan!
• 12. Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan tentukan solusi umum penyelesaiannya​
• 13. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK 1. (x^2 + y)dx + (y^3 + x)dy = 0 (20 poin).
• 14. Persamaan diferensial eksak (2x+y^3)dx + 3y(xy-2)dy​
• 15. Buktikan bahwa persamaan diferensial dengan bentuk ( x^2 + y^2 + x)dx + 2xy dy =0 adalah persamaan diferensial eksak.

1. persamaan diferensial eksak​

[tex]Solusi~dari~\frac{dx}{dy}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}~adalah~\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{3}y^3=C[/tex]

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi :

[tex]\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}[/tex]

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex]

Langkah langkah untuk mencari solusi [tex]F(x,y)=C[/tex]

1. Karena [tex]\frac{\partial{F(x,y)}}{\partial{x}}=M(x,y)[/tex] maka [tex]F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx+g(y)[/tex]

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).  

.

DIKETAHUI

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}\\[/tex]

.

DITANYA

Tentukan solusi dari persamaan diferensial eksak tersebut.

.

PENYELESAIAN

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}\\\\(y^2+2x)dy=-(x+2y)dx\\\\(x+2y)dx+(y^2+2x)dy=0\\\\diperoleh~:\\\\M=x+2y\\\\N=y^2+2x\\\\\\Cek~nilai~\frac{\partial{M}}{\partial{y}}~dan~\frac{\partial{N}}{\partial{x}}\\\\\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=2\\\\\frac{\partial{N}}{\partial{x}}=2\\\\Karena~\frac{\partial{M}}{\partial{y}}=\frac{\partial{N}}{\partial{x}}~maka~PD~eksak\\[/tex]

> Cari solusi PD

[tex]F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx\\\\F(x,y)=\int\limits^x {x+2y} \, dx\\\\F(x,y)=\frac{1}{2}x^2+2xy+g(y)[/tex]

.

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

[tex]\frac{\partial{F(x,y)}}{\partial{y}}=2x+g'(y)\\\\Karena~\frac{\partial{F(x,y)}}{\partial{y}}=N\\\\maka\\\\2x+g'(y)=y^2+2x[/tex]

dengan menyamakan kedua ruas diperoleh

[tex]g'(y)=y^2\\\\g(y)=\int\limits {y^2} \, dy\\\\g(y)=\frac{1}{3}y^3+C[/tex]

Sehingga solusi dari PD eksak tersebut adalah :

[tex]\frac{1}{2}x^2+2xy+g(y)=C\\\\\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{3}y^3=C[/tex]

.

KESIMPULAN

[tex]Solusi~dari~\frac{dx}{dy}=-\frac{(x+2y)}{y^2+2x}~adalah~\frac{1}{2}x^2+2xy+\frac{1}{3}y^3=C[/tex]

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/28274935PD variabel terpisah : https://brainly.co.id/tugas/28274571PD variabel terpisah : https://brainly.co.id/tugas/28453840

.

DETAIL JAWABAN

Mapel: Matematika

Kelas : x

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, eksak solusi,

2. apa arti persamaan diferensial eksak?

DIFFEREN SIAL ESKAK adalah suatu pd tingkat dan berpangkat satu yg berbentuk
M[x,y] dx +n[x.y] dy=0....(1)
seta jika memenuhi
om[x,y] /[per] oy=on kali [x,y]/per oy
semoga membantu
sumber at google

3. mohon bantuannya tentukan solusi umum dari persamaan diferensial eksak berikut​

Solusi dari [tex](2x+e^y)dx+xe^ydy=0[/tex] adalah [tex]\boldsymbol{x^2+xe^y=C}[/tex].

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial berbentuk [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex].

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex] .

Langkah langkah untuk mencari solusinya :

1. Karena [tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta x}=M(x,y)[/tex], maka [tex]F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx+g(y)[/tex].

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).  

.

DIKETAHUI

[tex](2x+e^y)dx+xe^ydy=0[/tex]

.

DITANYA

Tentukan solusi umumnya.

.

PENYELESAIAN

[tex](2x+e^y)dx+xe^ydy=0[/tex]

[tex]M=2x+e^y~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=e^y[/tex]

[tex]N=xe^y~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=e^y[/tex]

Karena [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex] maka termasuk PD eksak.

.

> Cari solusi PD.

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {M} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {2x+e^y} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=x^2+xe^y+g(y)}[/tex]

.

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

[tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=xe^y+g'(y)}[/tex]

.

Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N}[/tex], maka :

[tex]\displaystyle{xe^y+g'(y)=xe^y}[/tex]

.

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

[tex]\displaystyle{g'(y)=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy =\int\limits {0} \, dy}[/tex]

[tex]\displaystyle{g(y)=C_1}[/tex]

.

Sehingga solusi umum dari PD eksak tersebut adalah :

[tex]\displaystyle{F(x,y)=C}[/tex]

[tex]\displaystyle{x^2+xe^y+C_1=C}[/tex]

[tex]\displaystyle{x^2+xe^y=C-C_1}[/tex]

[tex]\displaystyle{x^2+xe^y=C}[/tex]

.

KESIMPULAN

Solusi dari [tex](2x+e^y)dx+xe^ydy=0[/tex] adalah [tex]\boldsymbol{x^2+xe^y=C}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUTSolusi umum dan khusus PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/41818609PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/29348546PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/41926354

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, eksak, solusi,

4. tunjukkan bahwa persamaan diferensial berikut adalah eksak dan selesaikan x dy+3y(^2)dx=0

dx / dx = 1

d 3y² / dy = 6y

1 ≠ 6y → PD tidak Eksak

Penyelesaian

x dy + 3y²dx = 0

x dy = - 3y²dx

dy / dx = -3y² /x

(-1/3y²)dy = (1/x)dx

-¹/₃∫y⁻²dy = ∫(1/x)dx

-¹/₃ × (¹/-₁)y⁻¹ + C = ln |x | + C

1/(3y) - ln |x| + C = 0

5. Perhatikan persamaan diferensial 6x + 5y dx = - (5x + 3y) dy, dengan y(0) = 2 Selidiki apakah persamaan diferensial tersebut eksak atau tidak!. Jika ya, carilah solusinya

Diketahui suatu persamaan diferensial (PD): (6x+5y)dx = -(5x+3y)dy dan y(0) = 2. PD tersebut merupakan PD eksak. Solusi dari PD tersebut adalah 3x²+5xy+³⁄₂y² = 6.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

(6x+5y)dx = -(5x+3y)dy

y(0) = 2

Ditanya: PD eksak/tidak? Jika eksak, cari solusinya

Jawab:

PD tersebut dapat ditulis kembali menjadi:

(6x+5y)dx = -(5x+3y)dy

(6x+5y)dx+(5x+3y)dy = 0

Misalkan bahwa:

M = 6x+5y dan N = 5x+3y

Mari tentukan turunan parsial: [tex]\frac{\partial M}{\partial y}[/tex] dan [tex]\frac{\partial N}{\partial x}[/tex].

[tex]\frac{\partial M}{\partial y}=5\\\frac{\partial N}{\partial x}=5[/tex]

Karena kedua turunan parsialnya sama, maka PD ini merupakan PD eksak. Lalu, ambil F(x,y) = C₁ yang merupakan fungsi konstan. Dari bentuk (6x+5y)dx+(5x+3y)dy = 0, diketahui:

[tex]\frac{\partial F}{\partial x}=6x+5y\cdots(1)\\\frac{\partial F}{\partial y}=5x+3y\cdots(2)[/tex]

Integrasikan persamaan (1) secara parsial terhadap x, didapat:

F = 3x²+5xy+ψ(x,y)

Kemudian, turunkan F secara parsial terhadap y, didapat:

[tex]\frac{\partial F}{\partial y}=5x+\psi'(x,y)[/tex]

Bandingkan hasil ini dengan persamaan (2). Dari sini, didapatkan bahwa:

ψ'(x,y) = 3y

ψ(x,y) = ³⁄₂y²+C₂

Dengan ini, didapatkan bentuk lengkap dari F sebagai berikut:

F = 3x²+5xy+³⁄₂y²+C₂ = C₁

3x²+5xy+³⁄₂y² = C (dengan C = C₁-C₂)

Dari soal, diketahui y(0) = 2, atau saat x bernilai 0, y bernilai 2. Mari substitusi x = 0 dan y = 2 untuk mendapatkan nilai C.

3·0²+5·0·2+³⁄₂·2² = C

3·0+0+³⁄₂·4 = C

0+6 = C

C = 6

Jadi, solusinya adalah 3x²+5xy+³⁄₂y² = 6.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang Menentukan Solusi Persamaan Diferensial Eksak https://brainly.co.id/tugas/29348546

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1

6. Buktikan apakah fungsi persamaan diferensial 2y^2+4x/dx=-(x+4y)/dy merupakan persamaan diferensial eksak? Tentukan nilai konstanta fungsi tersebut, jika diketahui y(0)=4

Solusi dari [tex]\frac{2y^2+4x}{dx}=-\frac{x+4y}{dy}[/tex] y(0) = 4 adalah [tex]\boldsymbol{\frac{1}{2}x^2+4xy+\frac{2}{3}y^3=\frac{128}{3}}[/tex].

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial berbentuk [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex].

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex].

Langkah langkah untuk mencari solusinya :

1. Karena [tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=M(x,y),~maka~F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx+g(y)[/tex].

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).  

.

DIKETAHUI

[tex]\frac{2y^2+4x}{dx}=-\frac{x+4y}{dy}[/tex]

[tex]y(0)=4[/tex]

.

DITANYA

Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Menentukan jenis persamaan diferensial.

[tex]\frac{2y^2+4x}{dx}=-\frac{x+4y}{dy}~~~~~~...kali~silang[/tex]

[tex](x+4y)dx=-(2y^2+4x)dy[/tex]

[tex](x+4y)dx+(2y^2+4x)dy=0[/tex]

.

[tex]M=x+4y~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=4[/tex]

[tex]N=2y^2+4x~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=4[/tex]

Karena [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex] maka termasuk persamaan diferesial eksak.

.

> Mencari solusi umum PD.

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {M(x,y)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {(x+4y)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\frac{1}{2}x^2+4xy+g(y) }[/tex]

.

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

[tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=0+4x+g'(y)[/tex]

[tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=4x+g'(y)[/tex]

.

Karena [tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N[/tex], maka :

[tex]4x+g'(y)=2y^2+4x[/tex]

.

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

[tex]\displaystyle{g'(y)=2y^2}[/tex]

[tex]\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy=\int\limits {2y^2} \, dy}[/tex]

[tex]\displaystyle{g(y)=\frac{2}{3}y^3+C}[/tex]

.

Sehingga solusi umum dari PD eksak tersebut adalah :

[tex]F(x,y)=C[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{1}{2}x^2+4xy+g(y)=C}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{1}{2}x^2+4xy+\frac{2}{3}y^3+C_1=C_2}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{1}{2}x^2+4xy+\frac{2}{3}y^3=C}[/tex]

.

> Mencari solusi khusus PD.

Substitusi nilai (x,y) = (0,4) ke solusi umum.

[tex]\displaystyle{\frac{1}{2}(0)^2+4(0)(4)+\frac{2}{3}(4)^3=C}[/tex]

[tex]\displaystyle{C=\frac{128}{3}}[/tex]

.

Maka solusi khususnya : [tex]\frac{1}{2}x^2+4xy+\frac{2}{3}y^3=\frac{128}{3}[/tex].

.

KESIMPULAN

Solusi dari [tex]\frac{2y^2+4x}{dx}=-\frac{x+4y}{dy}[/tex] y(0) = 4 adalah [tex]\boldsymbol{\frac{1}{2}x^2+4xy+\frac{2}{3}y^3=\frac{128}{3}}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUTPD eksak : https://brainly.co.id/tugas/41818609PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/29348546PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/28274935

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, eksak, solusi.

7. selesaikan persamaan diferensial orde 1 eksak 2xdy+3ydx=0

Jawaban:

Contoh :

Carilah penyelesaian umum PD, (4x ^ 3 + x ^ 2 - y ^ 2) * dx + 2xydy = 0

Jawab PD Eksak or Non eksak

M = 4x ^ 3 + x ^ 2 - y ^ 2, N = 2xy

-2y, ду

ax = 2y =

= ay ax -4y, p= Faktor Integrasi u ay ax N -4y! 2xy!

u = e ^ (- integrate 2/x dx) = e ^ (- 2 * ln(x))

= e ^ ln(1/(x ^ 2)) = 1/(x ^ 2) .

PD menjadi,

1/(x ^ 2) * (4x ^ 3 + x ^ 2 - y ^ 2) * dx + 1/(x ^ 2) * (2xydy) = 0

dx+ 2y X =

PD Eksak,

Solusi PD Eksak, F(x,y) = c, dimana :

F(x, y) = integrate (4x + 1 - (y ^ 2)/(x ^ 2)) dx + g(y)

= 2x ^ 2 + x + (y ^ 2)/x +g(y) Rightarrow g(y)=c.

Solusi.

2x ^ 3 + x ^ 2 + y ^ 2 = cx

8. 1. Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan tentukan solusi umum penyelesaiannya!2. Diketahui persamaan diferensial eksak (4x²+6y)dx+(6x-2y²-4)dy=0. jika diketahui y(0)=6. tentukan solusi khusus penyelesaiannya!​

Solusi persamaan untuk nomer 1 adalah 3x² + 5xy - 3x - 3y³. Suatu persamaan dikatakan eksak apabila turunan M terhadp y sama dengan turunan N terhadap x.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

M = 6x² + sy - 3

N = 5x - 9y² + 2

Ditanya:

Solusi umum penyelesaiannya?

Jawab:

F(x,y) =∫ M (x,y) + c(y)

F(x,y) = ∫ (6x² + 5y - 3) dx + c(y)

F(x,y) = 3x³ + 5xy - 3x + c(y)

[tex]\frac{dF(x,y)}{dy}[/tex] = [tex]\frac{d}{dy}[/tex]

5x + c'(y) = 5x - 9y² +2

c'(y) = 5x - 5x - 9y² + 2

c'(y) = -9y² + 2

∫ c'(y) = c'(y)

- 3y³ = c'(y)

Jadi, solusi persamaan untuk nomer 1 adalah 3x² + 5xy - 3x - 3y³.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang diferensial pada link https://brainly.co.id/tugas/5717076

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1

9. halo kak tolong Bantu aku dong ini sisa satu lagi soalnyatentang Persamaan diferensial eksakterima kasih kak​​

Jawaban:

Ini jawaban nya ya teman, semoga membantu

10. Tentukan solusi Persamaan diferensial Eksak fungsi 3x²+3y/dx = − 4x²+6xy/dy dengan y (0) = 5

Solusi dari [tex]\frac{3x^2+3y}{dx}=-\frac{4x^2+6xy}{dy}[/tex] dengan y(0) = 5 adalah [tex]\boldsymbol{\frac{4}{3}x^3+3x^2y+\frac{3}{2}y^2=\frac{75}{2}}[/tex].

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial berbentuk [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex].

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex].

Langkah langkah untuk mencari solusinya :

1. Karena [tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=M(x,y),~maka~F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx+g(y)[/tex].

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).  

.

DIKETAHUI

[tex]\frac{3x^2+3y}{dx}=-\frac{4x^2+6xy}{dy}[/tex]

[tex]y(0)=5[/tex]

.

DITANYA

Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Menentukan jenis persamaan diferensial.

[tex]\frac{3x^2+3y}{dx}=-\frac{4x^2+6xy}{dy}~~~~~~...kali~silang[/tex]

[tex](4x^2+6xy)dx=-(3x^2+3y)dy[/tex]

[tex](4x^2+6xy)dx+(3x^2+3y)dy=0[/tex]

.

[tex]M=4x^2+6xy~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=6x[/tex]

[tex]N=3x^2+3y~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=6x[/tex]

Karena [tex]\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}[/tex] maka termasuk persamaan diferesial eksak.

.

> Mencari solusi umum PD.

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {M(x,y)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits {(4x^2+6xy)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\frac{4}{3}x^3+3x^2y+g(y) }[/tex]

.

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

[tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=0+3x^2+g'(y)[/tex]

[tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=3x^2+g'(y)[/tex]

.

Karena [tex]\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N[/tex], maka :

[tex]3x^2+g'(y)=3x^2+3y[/tex]

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

[tex]\displaystyle{g'(y)=3y}[/tex]

[tex]\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy=\int\limits {3y} \, dy}[/tex]

[tex]\displaystyle{g(y)=\frac{3}{2}y^2+C}[/tex]

.

Sehingga solusi umum dari PD eksak tersebut adalah :

[tex]F(x,y)=C[/tex]

[tex]\frac{4}{3}x^3+3x^2y+g(y)}=C_1[/tex]

[tex]\frac{4}{3}x^3+3x^2y+\frac{3}{2}y^2+C_2=C_1[/tex]

[tex]\frac{4}{3}x^3+3x^2y+\frac{3}{2}y^2=C[/tex]

.

> Mencari solusi khusus PD.

Substitusi nilai (x,y) = (0,5) ke solusi umum.

[tex]\frac{4}{3}(0)^3+3(0)^2(5)+\frac{3}{2}(5)^2=C[/tex]

[tex]C=\frac{75}{2}[/tex]

.

Maka solusi khususnya : [tex]\frac{4}{3}x^3+3x^2y+\frac{3}{2}y^2=\frac{75}{2}[/tex].

.

KESIMPULAN

Solusi dari [tex]\frac{3x^2+3y}{dx}=-\frac{4x^2+6xy}{dy}[/tex] y(0) = 5 adalah [tex]\boldsymbol{\frac{4}{3}x^3+3x^2y+\frac{3}{2}y^2=\frac{75}{2}}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUTPD eksak : https://brainly.co.id/tugas/41818609PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/29348546PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/28274935

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : persamaan, diferensial, eksak, solusi.

11. Dapatkah persamaan diferensial 2(x+y)dy+2ydx=0 diselesaikan dengan cara penyelesaian PD eksak? Jelaskan!

Jawaban:

iya iti salah hairs Di benarkan

12. Perlihatkan bahwa persamaan diferensial (6x²+5y-3)dx+(5x-9y²+2)dy=0 merupakan persamaan diferensial eksak, dan tentukan solusi umum penyelesaiannya​

Solusi umum dari [tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}[/tex].

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial berbentuk [tex]Mdx+Ndy=0[/tex] disebut eksak jika memenuhi [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}[/tex].

Solusi dari persamaan diferensial ini adalah [tex]F(x,y)=C[/tex].

Langkah langkah untuk mencari solusinya :

1. Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta x}=M(x,y)}[/tex] maka [tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx +g(y)}[/tex].

2. Turunkan F(x,y) terhadap y.

3. Bandingkan hasil no 2 dengan fungsi N untuk memperoleh fungsi g(y).  

.

DIKETAHUI

[tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex]

.

DITANYA

Tentukan solusi umumnya.

.

PENYELESAIAN

[tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex]

[tex]\displaystyle{M=6x^2+5y-3~\to~\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=5}[/tex]

[tex]\displaystyle{N=5x-9y^2+2~\to~\frac{\vartheta N}{\vartheta x}=5}[/tex]

Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta M}{\vartheta y}=\frac{\vartheta N}{\vartheta x}}[/tex] maka termasuk persamaan diferesial eksak.

.

> Mencari solusi PD.

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {M(x,y)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=\int\limits^x {(6x^2+5y-3)} \, dx }[/tex]

[tex]\displaystyle{F(x,y)=2x^3+5xy-3x+g(y) }[/tex]

.

Kita turunkan F(x,y) terhadap y

[tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=5x+g'(y) }[/tex]

.

Karena [tex]\displaystyle{\frac{\vartheta F(x,y)}{\vartheta y}=N }[/tex], maka :

[tex]\displaystyle{5x+g'(y)=5x-9y^2+2 }[/tex]

Dengan menyamakan kedua ruas diperoleh :

[tex]\displaystyle{g'(y)=-9y^2+2 }[/tex]

[tex]\displaystyle{\int\limits {g'(y)} \, dy =\int\limits {(-9y^2+2)} \, dy }[/tex]

[tex]\displaystyle{g(y) =-3y^3+2y+C }[/tex]

.

Sehingga solusi dari PD eksak tersebut adalah :

[tex]F(x,y)=C[/tex]

[tex]\displaystyle{2x^3+5xy-3x+g(y)=C }[/tex]

[tex]\displaystyle{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }[/tex]

.

KESIMPULAN

Solusi umum dari [tex](6x^2+5y-3)dx+(5x-9y^2+2)dy=0[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{2x^3+5xy-3x-3y^3+2y=C }}[/tex].

.

PELAJARI LEBIH LANJUTPD eksak : https://brainly.co.id/tugas/41818609PD eksak : https://brainly.co.id/tugas/29348546PD non eksak : https://brainly.co.id/tugas/28274935

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

13. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK 1. (x^2 + y)dx + (y^3 + x)dy = 0 (20 poin).

semoga bermanfaat..........

14. Persamaan diferensial eksak (2x+y^3)dx + 3y(xy-2)dy​

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan

2dx²+4dxy³-6dy²

Faktor persamaannya

2d (x²+2xy³-3y²)

15. Buktikan bahwa persamaan diferensial dengan bentuk ( x^2 + y^2 + x)dx + 2xy dy =0 adalah persamaan diferensial eksak.

Misal U(x, y) = x^2 +y^2+x
dU(x, y) /dy =2y

Dan V(x, y) = 2xy
V(x, y) /dx =2y

Karena dU(x, y) /dy =V(x, y) /dx
Maka PD terbukti PD eksak

Video Terkait